花岡パトリオット
故郷花岡を愛する社会人、仮ピーの、折り紙、遊戯王、音楽、アニメ、漫画などの趣味を紹介していくブログです。 同じ趣味を持つ方々との繋がりを増やしていくことが一番の目的です。 どうぞごゆっくり。
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挑戦!!「ゼノンのパラドックス」
ゼノンのパラドックスと呼ばれる問題を3つ紹介。

それらについて考えてみよう。

1、アキレスと亀
アキレスとプリモス
あるところにアキレスと亀がいて、2人は徒競走をすることとなった。
しかしアキレスの方が足が速いのは明らかなので亀がハンディキャップをもらって、いくらか進んだ地点(地点Aとする)からスタートすることとなった。

スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる(地点B)。
アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む(地点C)。
同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。
2、放たれた矢は的に当たらない

飛ばした矢は?
矢が飛んでいる様子を考えよう。ある瞬間には、矢はある場所に位置している。
僅かな時間だけに区切って見れば、矢はやはり少ししか移動しない。
この時間をどんどん短くすれば、矢は動くだけの時間がないから、その瞬間だけは同じ場所に留まっているであろう。
次の瞬間にも、同じ理由でやはりまた同じ場所に留まっているはずである。
こうして矢は、どの瞬間にも同じ場所から動くことはできず、ずっと同じ場所に留まらなくてはならない。
したがって飛んでいる矢は止まっている。


3、二分法

地点Aから放った矢が地点B0の的へ移動するためには、まずAからの距離がAB0間の距離の半分の地点B1に到達しなければならない。
さらにAからB1へ移動するためには、Aからの距離がAB1間の距離の半分の地点B2に到達しなければならない。
以下、同様に考えると、地点Aから地点B0へ移動するには無限の点を通過しなければならず、そのためには無限の時間が必要である。
よって、矢が有限の時間で地点Aから地点B0へ移動することは不可能である。



んなわけあるか


ってこの結論を聞くといいたくなる。

しかしよくよく読んでみれば、話のどこにも問題は見当たらない。

現実ではアキレスは亀を一跨ぎできるし、打った矢は何かにぶつかるまで進む。

ならば話のどこに間違いがあるのか、というのを考えてみたい。

この時、特にアキレスと亀の話になると、速度の話に問題を挿げ替えてしまう人がいるんだよな。

母親と妹にこの話をしたんだけど、どんなに説明しても、問題の意味すら分かってくれなかった。

みんなはそんなことはないよね。

ちゃんと問題を理解してくれているよね。







さて、解答というほどのことでもないんだけど、一応解答をあげておく。

三つの話のなかで、どれにも「いくら時間が経っても」というフレーズが出てくる。

では考えていく中で大切なことは、「時間が無限に経つ」ということはいったいどういうことなのか、そこからだろう。

ここでこう考えるとわかりやすい。

「時間が無限に経つ」ことは、「小さな瞬間が連続して無限につながる」ということ。

そうすると、話の考え方の中で何が間違っているのか、見つけるのは簡単になる。

アキレスと亀のハンディキャップがあって、アキレスが亀のいるところまで走る間に、亀はちょっとだけ進む。

この「亀のいるところまで走る時間」の集合が、
「無限に時間が経つ」ということ、つまり、正の無限大に発散する、ということになっているのだ。


そこがこの話の間違っている点。

実際に計算すると、亀のいるところまで走る時間の集合は、収束してしまう。

つまり、いつかは追いつくということになる。

矢の話も同様。

矢が一瞬の間に進む距離の和が、あたかも正の無限大に発散するように書かれているけど、実際は収束する。

つまり、矢は進み続けるし、矢に放ったならばいつかは的に当たる。





これらの問題は、ゼノンのパラドックスという。

ゼノンのパラドックスは、エレア派のゼノンの考えたパラドックスで、パルメニデスの「感覚は全て疑わしいものである」ことを主張しているのだ。

彼の生きていた時代(紀元前490年頃 - 紀元前430年頃)では、√2のような無理数は扱えなかった。

√2が1と2の間にあることはわかっていたんだけど、分数にできない、少数にすると割り切れない、
小数点以下無限に続く数が、1と2の間にある。
これはいかに。

と、言われて無理数が嫌われていた時代だったのだそうだ。

「なんでぇ、こいつらバカやん」

っていう奴はバカ。


このパラドックスは、現実世界と論証との間にある矛盾を指摘した偉大な論。

背理法を確立したのはこのゼノンさん。

彼は師匠であるパルメニデスの意見、
「人の感覚などあてにならぬ!
理性でのみ真実を追求すべきなのだ!!」

を馬鹿にするやつらを黙らせるために、


「君たちが信じる運動の感覚を打ち破ってやるよ。
私のの考えた問題を、君たちの感覚とやらでうまく説明してご覧。
まず、アキレスと亀が徒競走を……」


と言ってやったわけだ。


そしたら誰もその問題を説明することはできなかった。





かっこいい……



そんなゼノンは、その生涯を政治犯として死刑で終えてしまう。

無理数や無限和に対して疑問を持てる、説明なしには計算で使用しない、そんな精神がこのパラドックスを生み、先人たちは切磋琢磨を繰り返していった。

ええ、そうして今の科学があるんですよ。
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